Логарифмы в информатике

Определение

По большому счёту, логарифм — это просто перевёрнутая степень. Рассмотрим выражение 23 = 8. В нём:
2 — основание степени;
3 — показатель степени;
8 — результат возведения в степень.
У возведения в степень существует два обратных выражения. В одном мы ищем основание (это извлечение корня), в другом — показатель (это логарифмирование).Таким образом, выражение 23 = 8 можно превратить в log2 8 = 3.Закрепляем знания: логарифм — это число, в которое нужно возвести 2 (основание степени), чтобы получить 8 (результат возведения в степень).Форма записи неинтуитивна, и поначалу можно легко спутать основание со степенью. Чтобы избежать этого, можно использовать следующее правило:Основание у логарифма, как и у возведения в степень, находится внизу.Чтобы лучше запомнить структуру записи, посмотрите на эти выражения и постарайтесь понять их смысл:log3 9 = 2
log4 64 = 3
log5 625 = 4
log7 343 = 3
log10 100 = 2
log2 128 = 7
log2 0,25 = −2
log625 125 = 0,75
В общем виде запись logAB читается так: логарифм B по основанию A.

Натуральный логарифм

Главная часть любого логарифма — его основание. Именно наличие общего основания у нескольких логарифмических функций позволяет проводить с ними различные операции.Основанием натурального логарифма является число Эйлера (e) — иррациональное число, приблизительно равное 2,71828.На всякий случай напомним, что такое иррациональные числа. Так называют числа, которые нельзя записать в виде обыкновенной дроби с целыми числителем и знаменателем. При этом знаменатель не должен быть равен нулю.Например, 0,333… — рациональное число, потому что его можно записать как 1/3. А вот число Пи или корень из 2 — иррациональны.Так как натуральные логарифмы часто используются, для них ввели особый способ записи: ln x — это то же самое, что loge x.

Автор

Что такое е?

Представим кристалл, который весит 1 кг и растёт со скоростью 100% в год. Можно ожидать, что через год он будет весить 2 кг, но это не так.

Каждая новая выращенная часть начнёт растить свою собственную. Когда в кристалле будет 1,1 кг, он будет расти со скоростью 1,1 кг в год, а когда в нём будет 1,5 кг — со скоростью 1,5 кг в год. Математики подсчитали, что через год масса кристалла составит e, или ≈ 2,71828 кг.

Такой рост называется экспоненциальным. По экспоненте размножаются бактерии, увеличиваются популяции, приумножаются доходы, растут снежные комья, распадается радиоактивное вещество и остывают напитки.

Зачем нужны натуральные логарифмы?

Чтобы узнать, какой массы достигнет кристалл через три, пять, десять лет, нужно возвести e в соответствующую степень.

e3 ≈ 20,0855 кг

e5 ≈ 148,4132 кг

e10 ≈ 22 026,4658 кг

Но как рассчитать, когда кристалл будет весить тонну? Составим уравнение:ex = 1000. Нам известны основание степени и результат возведения в степень — осталось найти её показатель. Ничего не напоминает? Это ведь и есть логарифм x = loge 1000! Или, если использовать сокращённую запись, x = ln 1000. Подставим в калькулятор и выясним, что x ≈ 6,9. Именно столько лет потребуется кристаллу, чтобы его масса достигла тонны.